احتمال"

فصل دوم

مثال 1: اگر{10و9و8و7و6و5و4و3و2و1}=uمجموعه جهانی و {6و5و4و3و2و1}=A

و{8و7و6و5و4}=Bدو زیر مجموعه ای از آن باشند:

مطلوبست:

{8و7و6و5و4و3و2و1}=A B

{6و5و4}=A B

{ّ7،8،9،10}=Á

{ 1،2،3،9،10}=B´

{9،10}=´(A B)

{1،2،3،7،8،9،10}=(´A B)

{1،2،3}=B-A

{7،8}=B-A

{1،2،3،7،8}=A B

{1،2،3،7،8}=B A

















مثال2:اگر مجموعه جهانی {13،...1،2،3}=u و مجموعه های {2،3،5،7،9}=A و{1،4،8،9،11}=B زیر مجموعه آن باشد مطلوبست :



{1،4،6،8،10،11،12،13}=

{2،3،5،6،7،10،12،13}=B´

{1،2،3،4،5،7،8،9،11}=A B

{9}=A B

{6،10،12،13}= (A B)

{1،2،3،4،5،6،7،8،10،11،12،13}=(´A B)

{2،3،5،7}=B-A

{1،4،8،11}=A-B

{1،2،3،4،5،7،8،11}=A B

{1،2،3،4،5،7،8،11}=B A















فضای نمونه ای چیست ؟مثال بزنید؟ مجموعه نتایج ممکن ومتمایز یک آزمایش تجربی وتصادفی رافضای نمونه ای می گویند وبا علامت s نشان داده می شود. مثلاٌ یک سکه دورو دارد شیر و خط که شیر و خط را فضای نمونه ای سکه می گویند وبا علامت {T.H}=sنشان می دهند. خطH= شیرT=

انواع فضای نمونه ای را نام ببرید ؟

1-فضای نمونه ای محدود و فضای نمونه ای نامحدود

فضای نمونه ای محدود:مانند اینکه یک سکه را پرتاب می کنیم

فضای نمونه ای نامحدود:مانند اینکه یک سکه را پرتاب می کنیم تا اینکه روی شیر آن بیاید.

برآمد چیست؟به هر نتیجه از نتایج ممکن یک آزمایش تجربی تصادفی را یک برآمد می گویند.

مثال1:یک سکه را سه بار به هوا پرتاب می کنیم چند برآمد حاصل می شود.

سکه

مثال2:یک تاس را سه بار به هوا پرتاب می کنیم چند برآمد حاصل می شود.

تاس

پیشامد(رویداد) چیست؟هر زیر مجموعه از فضای نمونه ای Sرایک پیشامد می گویند.

پیشامد سازگار چیست؟دو پیشامدA.B را سازگار می گویند که همزمان بتوانند رخ دهند.

پیشامد ناسازگار چیست؟دو پیشامدA.B راناسازگار می گویند که همزمان نتوانند رخ دهند.

پیشامد مستقل چیست؟ دو پیشامد A.B را مستقل گویند که وقوع یا عدم وقوع یکی در دیگری بدون تاٌثیر باشد مانند پرتاب دوسکه یکی شیر ودیگری خط بیاید.

پیشامدغیرمستقل چیست؟ وقوع یا عدم وقوع حادثه ای در وقوع یا عدم وقوع حادثه دیگری موٌثر باشد مانند اگر قبول شوم پدرم برایم دوچرخه می خرد.




پیشامد حتمی(یقینی) چیست؟پیشامدی که تعداد حالت های مساعد با تعداد حالت های ممکن برابر باشد. 1=p


پیشامد غیر ممکن چیست؟پیشامدی که احتمال وقوع آن تحت هیچ شرایطی وجودنداشته باشد. 0 =p

پیشامد تصادفی چیست؟ پیشامدی که احتمال وقوع یا عدم وقوع آن وجود داشته باشدوبین صفر ویک می باشد. 0≤p≤1



طریقه محا سبه مقداراحتما ل هرپیشامد ازطریق فرمول زیر محاسبه می گردد:

تعداد حالات مساعد مقداراحتمال پیش آمد

تعداد حالات ممکن

مثال 1:در یک کیسه تعداد 6 مهره سفید و4مهره آ بی و7مهره سیاه وجود دارد. اگربطور تصا دفی یک

مهره ازکیسه خارج کنیم چقدراحتما ل دارد مهره سفید باشد.





احتما ل مکمل: دواحتما ل P(A) وP (B) را مکمل می گویند که حا صل جمع آنها برابر1 باشد.









اگر تا سی را به هواپرتا ب کنیم احتما ل آمدن عدد زوج چقدراست؟

احتما ل آمدن عدد فرد چقدراست ؟ زوج

احتما ل آمدن عدد زوج وفرد چقدراست؟ فرد





جمع
آبیک
تاکستان
قزوین
اهلیت
جنسیت
16
3
6
7
زن
30
5
10
15
مرد
46
8
17
22
جمع
کارمندان یک شرکت را از نظراهلیت وجنسیت مورد بررسی



قرارداده ایم که به شرح جدول روبرو

می باشند

مطلوبست: اگریک کارمند را به طورتصادفی انتخا ب کنیم

چقدر احتما ل دارد مرد یا تاکستا نی باشد.






اجتماع دو پیش آمد ناسازگا ر:

فرمول :




اجتماع دو پیش آمد سازگا ر: فرمول:








مثال 1:احتما ل اینکه احمد در کنکور قبول شود 60% واحتما ل اینکه قبول نشود 40% است. احتما ل

اینکه احمد قبول یا مردود شود چقدراست



مثال 2: تاسی را به هوا پرتا ب کرد یم احتما ل اینکه عدد فرد یا اول بیا ید چقدر است.

عدد فرد A

عدد اول B

اول یا فرد باشد



طریقه محاسبه اشتراک در پیش آمد .

فرمول:

مثال: دو تا س را با هم به هوا پرتا ب می کنیم احتما ل اینکه هر دو تا س عدد 4 بیا یدچقدر است؟






در یک جعبه 7مهره سفید و5 مهره سیاه وجود دارد. اگر دو مهره بطور متوالی از جعبه بیرون آوریم چقدر

احتما ل دارد هر دو مهره سیاه باشد.

الف) در صورت با جایگذاری مهره

ب) در صورت بدون جایگزینی مهره


تفاوت در پیش آمد مستقل ونا سازگار:

پیش آمد مستقلی: در پیش آمدی که هیچ گونه ارتبا طی به هم ندارد.

پیش آمد نا ساز گار: پیش آمدی که همز مان نمی توا ند رخ دهد.

ما نند: شب و روز بودن – فردو زوج آمدن در پرتاب یک تاس – شیریا خط آمدن در پرتاب یک سکه


احتما ل شرطی چیست؟ فرمول آن را بنویسید.

هر گاه وقوع یک پیش آمد به وقوع یا عدم وقوع دیگری سنگی داشته باشد. به آن احتما ل شرطی می گویند.

مانند: اگر قبول بشوم پدرم برایم دوچرخه خواهد خرید.

فرمول:







نمونه سوالات امتحانی نهایی

1-اگر {10،.....3،2،1} u= مجموعه ی جهانی و{7،5،3،1} A=و

{8 ،6،4،2}=B زیرمجموعه های آن باشندمطلوب است:



A´= B´= AUB= AnB=





B-A= A-B= (AnB)´= (AUB =

2-احمدومحمودجداازهم برای حل مسئله ای میکوشند. احتمال اینکه احمد مسئله رادرست حل کند­­­­­­­­­­­­­­­­ ومحمودهمان مسئله را درست حل کند است اگرمسئله رادراختیار هردونفر قراردهیم احتملات زیر رامحاسبه کنید؟

الف)احتمال اینکه هردونفرمسئله رادرست حل کنند؟

ب)احتمال اینکه فقط یک نفرمسئله رادرست حل کند؟

ج)احتمال اینکه درست حل نشود؟

د)احتمال اینکه مسئله درست حل شود چه قدراست؟



3-اعداد1تا10رابرروی10کارت نوشته وکارتها رابه خوبی مخلوط می کنیم سپس یک کارت رابه طور تصادفی از

بین آنها انتخاب می کنیم. هرگاه بدانیم که عدد نوشته براین کارت عددزوج است احتمال آن راحساب کنید که عددمزبورمضرب4باشد؟





4-احتمال اینکه خانواده ای اتومبیل یا موتورسیکلت یاهردوی آنها راداشته باشندبه ترتیب 61/0و25/0و8/0است:

اگرخانواده ای را به طور تصادفی انتخاب شودمطلوب است:

الف)اتومبیل نداشته باشد؟

ب) اتومبیل یاموتورسیکلت داشته باشد؟



5-دریک جعبه 15لامپ وجودداردکه5تای آنهامعیوب است 3لامپ بطورتصادفی انتخاب کنیم مطلوبست:

احتمال انکه:

الف)هیچکدام ازآنها معیوب نباشند؟

ب)فقط یکی از آنها معیوب باشد؟

6-ازیک جعبه مداد رنگی 12تایی که ازهررنگ فقط یک مدادرنگی دارد3 مداد رنگی رابدون جای گذاری بیرون می آوریم احتمال آنکه اولی سبز دومی قرمز وسومی آبی باشدراحساب کنید؟

7-هنرجویان یک هنرستان ازنظر تحصیلی وکلاس مطابق جدول زیر است

نقشه کشی

کامپیوتر

حسابداری

کلاس رشته

20



30



64



دوم



60

50

32

سوم

مطلوب است:اگر دانش آموزی را به طور تصادفی انتخاب کنیم

چقدر احتمال دارد:

الف)رشته ی حسا بداری باشد؟

ب)سال سوم باشد؟

ج)رشته ی کامپیوتر یا سال دوم باشد؟







8-در ظرفAتعداد2مهره ی سبز و4مهره ی سفیدودرظرفBتعداد3مهره ی سفید و5مهره ی آبی وجوددارداگر از

هرجعبه بطور تصادفی یک مهره خارج کنیم.احتمال اینکه:

الف)هردومهره همرنگ باشند؟

ب)احتمال اینکه مهره ها همرنگ نباشند؟



9-باتوجه به جدول چگونگی توزیع هنرجویان اگربطور تصادفی هنرجویی را انتخاب کنیم چقدراحتمال دارد رشته ی



کامپیوتر



حسابداری

سال

رشته

120

120

دوم

130

80

سوم








الف)حسابداری یا سوم باشد؟

ب)رشته ی حسابداری یاکامپیوتر باشد؟









10-فرض کنیدB,Aدو پیشامد به طوری که P(A)=½P,(BوP(AnB)=¼باشدمطلوب است محاسبه ی:

الف )( ´ B | P(A ب)P(AUB)

11-ازمیان اعداد5رقمی باارقام متمایز که باارقام «12345» ساخته میشود به تصادف انتخاب کنیم .

احتمال اینکه:

الف)این عدد بزرگتر از20000 باشد چقدراست؟

ب)کوچکتراز20000باشد؟

12-درقفسه ای 5جلدکتاب تاریخ و6جلدکتاب آماروجوددارد. اگر3جلدکتاب بطور تصادفی انتخاب کنیم چقدر احتمال داردکه هر سه کتاب تاریخ باشد؟



13-در اتاقی 2کودک و4نوجوان ووجود دارد . ازاین اتاق یک نفر رابطور تصادف انتخاب کنیم .احتمال این که این فرد جوان باشد چقدر است؟



14-با توجه به جدول چگونگی توزیع ساکنان یکی از مجتمع های تهران اگر شخصی از این مجتمع

بطور تصادفی انتخاب کنیم . چقدر احتمال

داردشهرستانی یازن باشد؟

مرد

زن

جنسیت

اهلیت

10

45

تهرانی

70

15

شهرستانی



15-احتمال قبول شدن امیددر امتحاناتپایان سال¾ واحتمال قبول شدن امیردر همان امتحانات3/2 است محاسبه نمایید . چقدر احتمال دارد:

الف)امید قبول نشود؟ ب)هردوقبول شوند؟

ج)فقط امیدقبول شود؟ د)فقط یکی از آن دو قبول شود؟

16-ازظرفی با5مهره سفید و4مهره قرمز وسه مهره آبی هم اندازه درصورت برداشتن 2مهره

بطورمتوالی چقدراحتمال دارد که :اولی قرمز ودومی قرمز نباشد؟

الف)باجایگذاری ب)بدون جایگذاری

17-درجعبهA 3مهره قرمز و4مهره آبی ودرجعبه B2مهرهقرمزو6مهره سبز است. از هر جعبه یک مهره به تصادف بیرون می آوریم . احتمال اینکه مهره ها همرنگ نباشد چقدر است؟



18-ارقام2و5و7رابطور تصادفی در کنار هم می گذاریم . احتمال اینکه عدد حاصل725 باشدرا حساب کنید.



19-دریک پیشامد مستقل اگر =A))P و =B))P باشد. P(B/A)چقدر است؟



20-احتمال اینکه هرمز مسئله ای رادرست حل کند 5/3 واحتمال اینکه محمود همان مسئله رادرست حل کند 10/7 می باشد . این مسئله رابه هردو نفر می دهیم. مطلوبست:

الف)مسئله درست حل شود؟

ب)فقط یکی از آنها مسئله رادرست کند؟

ج)مسئله درست حل نشود؟

21-عددی را به تصادف از فضای نمونه ای {123456789} =S انتخاب کنیم. احتمال اینکه عدد انتخاب شده زوج یا مضرب 3باشد چقدر است؟

22-در یک جعبه دو مهره سفیدو3مهره سبز ودر جعبه ی دیگر 4مهره سبز و2مهره ی آبی

وجود دارد. ازهر جعبه یک مهره به تصادف انتخاب می کنیم. احتمال همرنگ نبودن

مهره هاراحساب کنید؟

23-از بین اعداد 3 رفمی که با ارقام 1تا6 می توان نوشت (بدون تکرارارقام) یک عدد رابه تصادف انتخاب می کنیم. احتمال اینکه این عدد کوچکتر از 400 باشد چقدراست؟

24- از بین 6 مرد و 4 زن شاغل در یک اداره اگر 3 نفر بطور تصادقی انتخاب کنیم. چقدر احتمال دارد:

الف) فقط 2 نفر مرد باشند.

ب ) حداقل 2 نفر مرد باشند.

ج ) حداکثر 2 نفر زن باشند.

25- احتمال اینکه احمد نتیجه بازی را درست پیش بینی کند 6/0 و احتمال اینکه رضا نتیجه همان بازی را درست پیش بینی کند 4/0 است. چقدر احتمال دارد بازی درست پیش بینی شود.

26- در یک کیسه 6 مهره سفید و 4 مهره سیاه وجود دارد، 3 مهره از کیسه بیرون می آوریم احتمال اینکه هر 3 مهره سفید باشد چقدر است.

الف) با جایگذاری

ب ) بدون جایگذاری

27- اگر p(A)= و p(B)= و =P(AUB) باشد مطلوب است.

الف)P(A B)=

ب ) P(A/B)=

28- از جعبه‌‌ای شامل 200 لامپ سفید که 8 تای آنها معیوب است و 150 لامپ سبز که 9 تای آنها معیوب است. یک لامپ را به تصادف انتخاب می‌‌کنیم. احتمال این را حساب کنید که لامپ انتخاب شده سفید یا معیوب باشد.

29- از کیسه‌‌ای که محتوی 5 مهره سفید و4 مهره سیاه است، 2 مهره بدون جایگذاری خارج می کنیم. مطلوبست:

الف) هر دو مهره سیاه باشند ب) اولی سفید و دومی سیاه باشند



30- تعداد 4 نفر از 7نفر کارگر یک گارگاه مرد هستند به چند طریق می توان 3 نفر از بین کارگران را انتخاب نمود بطوری که:

الف) حداقل یک نفر زن باشد.

ب ) حداقل دو نفر مرد باشد.

ج ) حداکثر یک نفر مرد باشد.

د ) حداکثر دو نفر زن باشد.









پاسخنامه سوالات امتحانی نهایی



1.


2.الف)

ب)

ج)

د)







3.





4.

الف)

ب)

5. الف) تعداد لامپهای سالم



ب)





6.


7.

الف)

ب)

ج)

د)

چون شرط مستقل بودن وجود ندارد .

8.

الف)

ب)



یا



9. الف)




10. الف)


11.

1
2
3
4
5


تعداد کل اعداد می توان نوشت



1
2
3
4
4


تعداد اعداد بزرگتر از






12.


13.





14.






15.

الف)


ب)


ج)


د)




16.

الف)

ب)



17.

همرنگ بودن




18.


19.









20.






21.

زوج باشد



فرد باشد







22.

احتمال همرنگ بود راه اول

همرنگ نبودن



راه دوم



23.

کل اعداد
کوچکتر از400




4
5
6


کل اعدهد کوچکتر از 400

4
5
3




24.

الف)




ب)



ج)


25.


26.

الف) باجایگذاری

ب) بدون جایگذاری

27.الف)





ب)


29.

الف)

ب)

30.

الف)

ب)

ج)

د)

پاسخ تمرینهای فصل دوم

1- اجتماع دو پیشامد را تعریف کرده، علامت آن را نشان دهید.

اجتماع دو مجموعه A وB عبارت است از مجموعه‍‌‌ای که عناصر آن یا بهA تعلق دارد یا به B و یا به هر دو، اجتماع A وB را با نماد AUB نشان می‌‌دهند.

2- اشتراک دو پیشامد را تعریف کرده، علامت آن را نشان دهید.

اشتراک دو مجموعه A وB عبارت است از مجموعه‌‌ای که عناصر آن هم به A تعلق دارند و هم به B و با نماد A B نشان می‌‌دهند.

3- مفهوم تهی را توضیح داده، علامت آن را نشان دهید.

مجموعۀ خالی و بدون عضو را تهی گویند و‌‌ آن را با علامت∅ نشان می‌‌دهند.

4- آزمایش تصادفی چیست؟ انواع آن را نام ببرید و برای هر کدام مثالی ذکر کنید.

هر نوع تحقیقی عملی که بر اثر انجام آن، داده‌‌های آماری به دست آیند آزمایش گویند که به دو دستۀ تجربی و تصادفی تقسیم می‌‌شوند.

آزمایش تجربی عبارت است از فرآیند شناخته شده‌‌ای که به نتیجۀ معینی منجر شود و در شرایط کنترل شده قابلیت تکرار را داشته باشد مثل بسیاری از آزمایش‌‌های شیمیایی یا فیزیکی.

آزمایش تصادفی عبارت است از آن دسته از آزمایش‌‌ها که عامل تصادف در نتیجۀ آن دخالت داشته باشد مانند پرتاب یک سکۀ سالم پرتاب یک تاس.

5- فضای نمونه‌‌ای را تعریف کرده،‌برای فضاهای نمونه‌‌ای محدود و نامحدود مثال بیاورید.

اگر تعداد عضوهای یک فضای نمونه‌‌ای به گونه‌‌ای باشند که بتوان عددی را به تعداد عناصر فضای نمونه‌‌ای نسبت داد. فضا را محدود(متناهی) و در غیر این صورت،فضای نمونه‌‌‌ای را نامحدود(نا متناهی) می گویند.

فضای محدود مانند پرتاب یک سکه سالم که شامل 2S={H,T} عضو است و برای فضای نامحدود می توان پرتاب یک سکه را نام برد که در هر بار پرتاب یک روی سکه ظاهر می شود و معلوم نخواهد بود که هر بار کدام طرف ظاهر خواهد شد.

S={H,TH,TTH,TTTH,…}



6- پیشامد را تعریف کنید. برای پیشامد‌‌های سازگار و ناسازگار مثال ذکر کنید.

هر زیر مجموعه از مجموعه فضای نمونه‌‌‌‌ای S را یک پیشامد گویند.

پیشامدA و B سازگار هستند. هرگاه بتوانند همزمان رخ دهند. مثل این که در یک جعبه پنج مهرۀ زرد با شماره 1 تا 5 و پانزده مهرۀ سفید با شماره 1 تا 15 وجود داشته باشد و یک مهره به تصادف بیرون بیاوریم و بخواهیم مهرۀ استخراج شده، زرد یا عددی کوچکتر از چهار باشد.

7- برداشت‌‌های مختلف از احتمال را شرح دهید.

واژۀ احتمال را می‌‌توان معادل کلمۀ «شانس» وقوع و یا وقوع پیشامد یا معین تلقی کرد. مثلاً وقتی یک سکه را به سمت بالا پرتاب می‌‌کنیم احتمال آمدن روی سکه، معادل است با شانس آمدن روی سکه، در این مثال پیشامد مطرح شده به فضای نمونه‌ای تعلق دارد با تعداد‌‌ی برآمد هم شانس،‌ چنین برداشتی را احتمال کلاسیک نام داد‌‌ه‌‌اند. در چنین آزمایشی، شانس آمدن هر طرف سکه برای است، می‌‌باشد.

در مثال دیگر احتمال اینکه دانشجویی از سلف سرویس دانشگاه استفاده کند. معادل است با شانس استفاده کردن دانشجو از سلف سرویس. در این مثال فضای نمونه‌‌ای آن دارای برآمدهای هم شانس نیستند. یعنی تعداد کل موفقیت‌‌ها و تعداد کل پیشامد‌‌های ممکن از قبل مشخص نیستند بلکه براساس مشاهدات نمونه‌‌ای معلوم خواهند شد. چنین برداشتی را احتمال تجربی − کلاسیک گویند.

و یا احتمال که کالای جدیدی در بازار موفق باشد در حقیقت منظور همان شانس موفقیت کالای جدید در بازار می‌‌باشد، در این مثال نمی‌‌توان تعداد موفقیت‌‌ها و تعداد کل حالات را مشخص کرد و لذا محاسبۀ احتمال،‌ جنبۀ ذهنی و شخصی پیدا کرده متکی بر ادارک و شخصیت فرد در حدس زدن می‌‌باشد به چنین برداشتی احتمال ذهنی، شخصی گویند.

احتمال کلاسیک به این دلیل که فضای نمونه‌‌ای آن حامل بر برآمد‌‌های هم شانس می‌‌باشد مدل احتمال یکنواخت و برداشت احتمال تجربی−کلاسیک را به این دلیل این که فضای نمونه‌‌ای که حامل برآمد‌های غیر هم شانس می‌‌باشد مدل احتمال غیر یکنواخت می‌‌نامند.







8- سه اصل اساسی احتمال را که با اصول قراردادی(موضوعه) احتمال معروفند، توضیح دهید.

اصل اول: احتمال رخ دادن هر برآمد در هر فضای نمونه‌‌ای، یک عدد غیر منفی است. اگر فضای نمونه‌‌ای S را برآمد‌‌های‌ ... ، ، در نظر بگیریم، خواهیم داشت: N≤P≤1

اصل دوم: مجموع احتمال‌‌های رخ دادن تمامی برآمدهای فضای نمونه‌‌ای S، مساوی یک خواهد بود. اگر S دارای چند برآمد باشد:

+....+ + +S=

=

اصل سوم: احتمال رخ دادن هر پیشامد مشخص (مانند = پیشامدA) برابر است با مجموع احتمال‌‌های رخ دادن برآمد‌‌هایی که پیشامد مورد نظر را تشکیل می‌‌دهند مثلاٌ پیشامد A که از چند برآمد تشکیل شده است.



9- در نمودار زیر را سایه بزنید.


















10- احمد، محمود و حامد در یک مسابقۀ علمی شرکت کرده‌‌اند. اگر بدانیم احتمال برنده شدن احمد دو برابر احتمال برنده شدن محمود و احتمال برنده شدن محمود دو برابر برنده شدن حامد است، احتمال برنده شدن هر یک از این سه نفر را معلوم کنید.



x+2x+4x=1⇒7x=1⇒x=

⇒احتمال برنده شدن حامد

⇒احتمال برنده شدن محمود

⇒احتمال برنده شدن احمد

11- اگر احتمال بالا قرار گرفتن روی سکه‌‌ای، دو برابر احتمال بالا قرار گرفتن پشت آن باشد، چقدر احتمال دارد که در دو بار پرتاب این سکه، هر دو بار روی سکه بالا قرار گیرد.

پشت سکه:T روی سکه:p

P(H)=2p(T)

→P(H)+P(T)=1→2P(T)+P(T)=1→

چون پرتاپ ها مستقل هستند








12- در یک شرکت بیمه 10 بیمه نامه تنظیم شده که چهار عدد آنها مربوط به بیمه ی اتومبیل و 6 عدد بقیه ، مربوط به بیمه ی اتش سوزی می باشند. اگر به طور تصادفی سه عدد از بیمه نامه را انتخاب کنیم، چقدر احتمال دارد:

الف) هر سه بیمه نامه ی اتومبیل باشند؟

ب)دو عدد از بیمه نامه ، از نوع بیمه آتش سوزی باشند؟

ج)حداقل یکی از آنها مربوط به بیمه ی آتش سوزی باشند؟

د)حداکثر دو بیمه نامه از نوع بیمه ی آتش سوزی باشند؟

(الف

(ب

(ج



13- 250 نفر از دانش آموزان یک دبیرستان را از نظر رشته تحصیلی و کلاس ،مطابق جدول زیر مورد بررسی قرار داده ایم .اگر یک دانش آموزان به طور تصادفی از این گروه انتخاب کنیم، چقدر احتمال دارد که:

الف)کلاس سوم باشد؟

ب)کلاس سوم نباشد؟

ج)کلاس اول یا دوم باشد؟

د)رشته حسابداری و کلاس سوم باشد ؟

هـ)رشته بازرگانی باشد به شرطی که بدانیم کلاس اول است؟

ز)آیا کلاس چهارم بودن و رشته ی حسابداری بودن دو پیشامد مستقل اند؟ چرا؟





چهارم

سوم

دوم

اول

کلاس



رشته

8

25

15

20

تجربی

10

15

5

10

ریاضی

12

10

15

30

حسابداری

5

10

20

40

بازرگانی



















الف) کل کلاس سوم 60 نفر هستند

پس:

(کلاس سوم بودن)



ب)190=60-250 پس :

(کلاس سوم نباشد) ج) (کلاس اول)P + (کلاس دوم) P =P (کلاس اول یا دوم باشد)

کلاس اول

کلاس دوم

د)



(رشته حسابداری و سوم بودن)

هـ) (کلاس دوم و رشته حسابداری P(- (رشته حسابداری )P





(کلاس اول بازرگانی)P

(کلاس اول) P

و) =(کلاس اول بازرگانی)P
ز) خیر چون:

احتمال کلاس چهارم بودن



احتمال حسابداری بودن



زیرا شرط مستقل بودن وجود ندارد (احتمال کلاس چهارم و حسابداری بودن)



14- اگر از جدول تمرین 13 ، چهار نفر به طور تصادفی انتخاب کنیم، احتمال اینکه رشته های آنها متفاوت باشد ،چقدر است؟ و احتمال این که هر چهار نفر یک رشته باشند، چقدر است ؟

(رشته های متفاوت ) P

= (هم رشته بودن) احتمال تجربی بودن

احتمال ریاضی بود

احتمال حسابداری بودن

احتمال بازرگانی بودن











15- 70% دانش آموزان یک دبیرستان ،درس امار را و 40% انها درس ریاضیات عمومی و 30% دانش آموزان هر دو درس را انتخاب کرده اند .اگر یک دانش آموز را به صورت تصادفی انتخاب کنیم، احتمال اینکه:



الف) آمار یا ریاضی را انتخاب کرده باشد، چقدر است؟



ب) هیچ کدام از این دروس را انتخاب نکرده باشند، چقدر است؟

( الف





(ب



16- احتمال این که آقای X یک مسئله را حل کنید و احتمال اینکه همین مسئله را آقای y حل کند است. این مسئله را به هر دو نفر ارائه می دهیم تا حل کنند. چقدر احتمال دارد که:

الف) هر دو نفر مسئله را حل کنند؟ ب) مسئله هر شود. پ)فقط یکی از آنها مسئله را حل کند

(الف



(ب



(پ



17- در یک دانشکده، کلاس A دارای 15 دانشجوی تهرانی و 25 دانشجوی شهرستانی و کلاس B دارای 20 دانشجوی تهرانی و 40 دانشجوی شهرستانی است .اگر از هر کلاس یک دانشجو به صورت تصادفی انتخاب کنیم،چقدر احتمال دارد که از کلاس A تهرانی و از کلاس B شهرستانی باشند ؟اگر بخواهیم از هر دو کلاس شهرستانی باشند،احتمال را معلوم کنید .اگر بخواهیم هر دو نفری که انتخاب می شوند یا تهرانی باشند یا شهرستانی، مقدار احتمال چقدر خواهد بود؟

جمع

شهرستانی

تهرانی

محل تولد

کلاس

40



25

15

A

60

40

20

B



100

65

35

جمع





















( الف



(ب



(ج











18- دایره ای به شعاع R را در نظر بگیرید. اگر به طور تصادفی نقطه ای در داخل این دایره انتخاب شود احتمال انکه این نقطه به مرکز دایره نزدیک تر از محیط دایره باشد چقدر است؟

(راهنمایی: فضای نمونه ای ، مجموعه شمارش ناپذیر مساحت یک دایره به شعاع R است).

در صورتی می تواند به مرکز دایره نزدیکتر باشد. که شعاع نتخابی دایره وسط آن از شعاع دایره واقعی کوچکتر باشد






19- مستطیلی به طول 25 و عرض 20 سانتی متر را در نظر بگیرید که در داخل آن دایره ای به شعاع 10 سانتی متر واقع شده باشد. اگر تیری به سمت مستطیل رها شود احتمال آنکه به دایره اصابت نماید، چقدر است؟

500=20 ×25= مساحت مستطیل = فضای نمونه ای =

احتمال مساحت دایره =



20-















جواب تستهای فصل دوم



1- گزینه (1) صحیح است:

2- گزینه (4) صحیح است:

(حداقل یک مهره ی سیاه)P



3- گزینه (2) صحیح است.

در صورتی که AوBمستقل باشند



4- گزینه (4) صحیح است.

= (فضای نمونه که مجموعه دو شمارش حداقل 10) (A )n





5- گزینه (2) صحیح است.



6- گزینه(1)صحیح است. (H:پشت سکه وT: روی سکه )



7- گزینه (4) صحیح است .





8- گزینه (4) صحیح است. S پیشامد حتمی است.

چونAوBناسازگارند

9- گزینه (2) صحیح است.


10- گزینه (4) صحیح است.



11- گزینه (1 ) صحیح است.



تهرانی

کل دانش آموزان

12- گزینه( 2) صحیح است.



13- گزینه (2) صحیح است .





14- گزینه (4) صحیح است.



15- جواب(2) صحیح است.



16-گزینه (2)صحیح است